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设f(x)在定义域A上是单调递减函数,又F(x)=af(x)(a>0),当f(x)>0时,F(x)>1.求证:(1)f(x)<0时,F(x)<1;(2)F(x)在定义域A上是减函数.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设f(x)在定义域A上是单调递减函数,又F(x)=a
f(x)
(a>0),当f(x)>0时,F(x)>1.求证:
(1)f(x)<0时,F(x)<1;
(2)F(x)在定义域A上是减函数.
试题解答
见解析
证明:(1)∵f(x)>0时,F(x)=a
f(x)
>1,
∴a>1
则f(x)<0时,-f(x)>0…(2分)
∴a
-f(x)
>1
∴
1
a
f(x)
>1
∴0<a
f(x)
<1
∴F(x)<1…(4分)
(2)设x
1
<x
2
,x
1
,x
2
∈A…(5分)
∵f(x)在A上为减函数,
∴f(x
1
)>f(x
2
)
即f(x
2
)-f(x
1
)<0,
而F(x
2
)-F(x
1
)=a
f(x
2
)
-a
f(x
1
)
=a
f(x
1
)
[a
f(x
2
)-f(x
1
)
-1]…(8分)
∵a>0,
∴a
f(x
1
)
>0,且当f(x
2
)-f(x
1
)<0
而f(x)<0时,F(x)<1
∴a
f(x
2
)-f(x
1
)
<1
∴F(x
2
)-F(x
1
)<0,∴F(x
2
)<F(x
1
)
∴F(x)在定义域A上是减函数…(13分)
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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