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  • 已知函数h(x)=ln(x+32)，g(x)=lnx，f(x)=ax(a＞0)．（Ⅰ）求函数G（x）=h（x）+f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=2，问是否存在实数t＞0，使得函数F（x）=h（x）-tg（x）+f（x）有两个相异的零点？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数h(x)=ln(x+
      3
      2
      )，g(x)=lnx，f(x)=
      a
      x
      (a＞0)．
      （Ⅰ）求函数G（x）=h（x）+f（x）的单调区间；
      （Ⅱ）当a=2，问是否存在实数t＞0，使得函数F（x）=h（x）-tg（x）+f（x）有两个相异的零点？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题意G(x)=ln(x+
      3
      2
      )+
      a
      x
      ，
      ∴G（x）的定义域为{x| x＞-
      3
      2
      且x≠0}，
      ∵G      /(x)=
      1
      (x+
      3
      2
      )
      -
      a
      x2
      =
      x2-ax-
      3
      2
      a
      x2(x+
      3
      2
      )
      ，
      由G      ′（x）=0得，x2-ax-
      3
      2
      a=0，
      ∵a＞0，∴△=a      2+6a＞0，
      ∴      x1=
      a-
      √a2+6a
      2
      ＞-
      3
      2
      ，x2=
      a+
      √a2+6a
      2
      ＞0 ，
      由G      ′（x）＞0得，x＜x1 或x＞x2；由G′（x）＞0得，x1＜x＜x2，且x≠0，
      ∴G（x）在(-
      3
      2
      ，
      a-
      √a2+6a
      2
      )，(
      a+
      √a2+6a
      2
      ，+∞)上是增函数，
      在(
      a-
      √a2+6a
      2
      ，0)，(0，
      a+
      √a2+6a
      2
      )上是减函数；
      （Ⅱ）假设存在实数t＞0，使得函数F(x)=ln(x+
      3
      2
      )+
      2
      x
      -tlnx（x＞0）有
      相异的零点为x      1，x2，则x1＞0，x2＞0，
      ∴      F′(x)=
      1
      x+
      3
      2
      -
      t
      x
      -
      2
      x2
      =
      x2-tx(x+
      3
      2
      )-2
      x2(x+
      3
      2
      )
      =
      (1-t)x2-
      3
      2
      tx-2
      x2(x+
      3
      2
      )
      ，
      令y=(1-t)x      2-
      3
      2
      tx-2，
      由题意得，F      ′（x）=0有两个相异的正实根，
      即(1-t)x      2-
      3
      2
      tx-2=0???两个相异的正实根，
      ∴t≠1，且
      {
      x1+x2=
      3t
      2(1-t)
      ＞0
      x1?x2=
      -2
      1-t
      ＞0
      ，
      ∴当0＜t＜1时，有1-t＞0，则
      {
      x1+x2=
      3t
      2(1-t)
      ＞0
      x1?x2=
      -2
      1-t
      ＜0
      ，故舍去；
      当t＞1时，有1-t＜0，则
      {
      x1+x2=
      3t
      2(1-t)
      ＜0
      x1?x2=
      -2
      1-t
      ＞0
      ，故舍去，

      综上，不存在t＞0满足条件．
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