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  • 设a为实数，函数f（x+a）=（x+a）|x|，x∈R．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（1）＞2，求a的取值范围；（3）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值g（a）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设a为实数，函数f（x+a）=（x+a）|x|，x∈R．
      （1）求f（x）的解析式；
      （2）若f（1）＞2，求a的取值范围；
      （3）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值g（a）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x+a=t，
      ∴x=t-a，
      ∴f（t）=t|t-a|．
      ∴f（x）=x|x-a|（x∈R）．

      （2）∵f（1）＞2，
      ∴|1-a|＞2，
      ∴a-1＞2或a-1＜-2，
      ∴a＞3或a＜-1，
      ∴a的取值范围是a＞3或a＜-1．

      （3）f(x)=
      {
      x2-ax=f1(x) x≥a
      -x2+ax=f2(x)，x＜a.

      当a≤0时，f（x）在[0，1]单调递增，
      ∴f      max（x）=f（1）=1-a．
      当a＞0时，f（x）的图象如图：
      ①当
      a
      2
      ＞12时，即a＞23时，
      f      max（x）=f2（1）=a-1．
      ②由      f1(x)=
      a2
      4
      ，x＞a得，
      ∴      x2-ax-
      a2
      4
      =0，
      ∴x=
      (1±
      √2
      )a
      2
      ．
      ∵x＞a，
      ∴x=
      (1-
      √2
      )a
      2
      舍去，
      ∴x=
      (1+
      √2
      )a
      2
      ．
      ∴当
      a
      2
      ≤1≤
      (1+
      √2
      )a
      2
      时，
      即2(
      √2
      -1)≤a≤2时，fmax(x)=
      a2
      4
      ．
      ③当
      (1+
      √2
      )a
      2
      ＜1时，
      即0＜a＜2(
      √2
      -1)，
      f      max（x）=f1（1）=1-a．
      综上所述，g(a)=
      {
      1-aa＜2(
      √2
      -1)
      a2
      4
      2(
      √2
      -1)≤a≤2
      a-1a＞2
      ．
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