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  • 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE．其中正确结论的个数为（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE．其中正确结论的个数为（　　）

      试题解答

      D
      解：∵∠BAC=60°，
      ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
      ∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，
      ∴∠EBC=
      1
      2
      ∠ABC，∠ECB=
      1
      2
      ∠ACB，
      ∴∠EBC+∠ECB=
      1
      2
      （∠ABC+∠ACB）=
      1
      2
      ×120°=60°，
      ∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°，故①正确；
      如图，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，
      ∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，
      ∴AD为∠BAC的平分线，
      ∴DF=DG，
      ∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120°，
      又∵∠BDC=120°，
      ∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°，
      ∴∠BDF=∠CDG，
      ∵在△BDF和△CDG中，
      {
      ∠BFD=∠CGD=90°
      DF=DG
      ∠BDF=∠CDG
      ，
      ∴△BDF≌△CDG（ASA），
      ∴DB=CD，
      ∴∠DBC=
      1
      2
      （180°-120°）=30°，
      ∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，
      ∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，
      ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=
      1
      2
      ∠BAC=30°，
      根据三角形的外角性质，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，
      ∴∠DBE=∠DEB，
      ∴DB=DE，故②正确；
      ∵DB=DE=DC，
      ∴B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，
      ∴∠BDE=2∠BCE，故③正确；
      综上所述，正确的结论有①②③共3个．
      故选D．
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      八年级下册北师大版单选题初二数学

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