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  • （2011?通州区一模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，E是AB的中点，过E点作射线EF∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x2-4x+a2+2a+5=0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿射线AB由点A向点B运动，点Q以???秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t．（1）求线段AB、AD的长；（2）如果t＞1，DP与EF相交于点N，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；（3）当t＞0时，是否存在△DPQ是直角三角形的情况？如果存在请求出时间t；如果不存在，说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2011?通州区一模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，E是AB的中点，过E点作射线EF∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x2-4x+a2+2a+5=0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿射线AB由点A向点B运动，点Q以???秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t．
      （1）求线段AB、AD的长；
      （2）如果t＞1，DP与EF相交于点N，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；
      （3）当t＞0时，是否存在△DPQ是直角三角形的情况？如果存在请求出时间t；如果不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）根据题意可知，△=42-4（a2+2a+5）=-4（a+1）2=0，
      ∴a=-1，
      原方程可化为：x      2-4x+4=0，
      ∴x      1=x2=2，
      ∴AD=AB=2．

      （2）过点A作AH⊥BC于点H，过点P作PM⊥DA，交DA的延长线于M，过点D作DK⊥EF，
      ∵∠A=120°，AD∥BC且AD=AB=2，
      ∴∠B=60°，AH=
      √3
      ，
      ∵E是AB中点，且EF∥BC，
      ∴AN=DK=
      √3
      2
      ，
      ∵AP=t，
      ∴PM=
      √3
      2
      t，
      ∵t＞1 AE=1，
      ∴P在E的下方，
      ∴PS=
      √3
      2
      t-
      √3
      2
      ，
      ∵E是AB中点，AD∥EF，AB=2，
      ∴
      EN
      AD
      =
      PE
      PA
      ，
      ∴EN=
      2(t-1)
      t
      ，
      ∴QN=2t-
      2(t-1)
      t
      ，
      ∴S      △DPQ=
      1
      2
      (2t-
      2(t-1)
      t
      )(
      √3
      2
      t-
      √3
      2
      +
      √3
      2
      )，
      =
      √3
      2
      t2-
      √3
      2
      t+
      √3
      2
      S=
      √3
      2
      t2-
      √3
      2
      t+
      √3
      2
      ，

      （3）根据题意可知：AM=
      1
      2
      t，
      ∴DM=2+
      1
      2
      t，
      ∴DP      2=（DM）2+（PM）2，
      DP      2=(2+
      1
      2
      t)2+(
      √3
      2
      t)2
      DP      2=t2+2t+4，
      根据勾股定理可得：
      DQ      2=(
      √3
      2
      )2+(2t-2-
      1
      2
      )2
      DQ      2=(
      √3
      2
      )2+(2t-2-
      1
      2
      )2=4t2-10t+7，
      PQ      2=QS2+PS2=(2t+
      t-1
      2
      )2+(
      √3
      (t-1)
      2
      )2，
      PQ      2=7t2-4t+1，
      ①当∠PDQ=90°，PQ      2=DQ2+PD2
      7t      2-4t+1=4t2-10t+7+t2+2t+4，
      解之得：t=
      √6
      -1（舍负），
      ②当∠DPQ=90°，DQ      2=PQ2+PD2
      4t      2-10t+7=7t2-4t+1+t2+2t+4，
      解之得：t=
      √6
      2
      -1（舍负），
      ③当∠DQP=90°，PD      2=DQ2+PQ2，
      t      2+2t+4=7t2-4t+1+4t2-10t+7，
      解之得：t=
      4±
      √6
      5
      ，
      综上，当t=
      4±
      √6
      5
      ，t=
      √6
      2
      -1，t=
      √6
      -1时△DPQ是直角三角形．
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