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  • （2010?李沧区二模）如图，四边形OABC为直角梯形，OA⊥CO，CB∥OA，OA=CO=4，BC=3．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AO于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ、BQ．（1）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式；（2）当t为何值时，S△BCQ：S△AQM=3：2？（3）是否存在某一时刻t，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?李沧区二模）如图，四边形OABC为直角梯形，OA⊥CO，CB∥OA，OA=CO=4，BC=3．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AO于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ、BQ．
      （1）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式；
      （2）当t为何值时，S      △BCQ：S△AQM=3：2？
      （3）是否存在某一时刻t，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）经过t秒时，NB=t，OM=2t，
      则CN=3-t，AM=4-2t，
      ∵∠BCA=∠MAQ=45°，
      ∴QN=CN=3-t，
      ∴PQ=1+t，
      ∴S      △AMQ=
      1
      2
      AM?PQ=
      1
      2
      （4-2t）（1+t）=-t2+t+2．

      （2）由题意得，CN=NQ=3-t，QP=1+t，AM=4-2t，
      ∴S      △BCQ=
      1
      2
      ×3（3-t），S△AQM=
      1
      2
      （4-2t）（1+t），
      又∵S      △BCQ：S△AQM=3：2，即3（3-t）：（4-2t）（1+t）=3：2，
      解得：t=1，
      即当t=1时，S      △BCQ：S△AQM=3：2．

      （3）存在．
      设经过t秒时，NB=t，OM=2t，
      则CN=3-t，AM=4-2t，
      ∴∠BCA=∠MAQ=45°，
      ①若∠AQM=90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高，
      ∴PQ是底边MA的中线，
      ∴PQ=AP=
      1
      2
      MA，
      ∴1+t=
      1
      2
      （4-2t），
      解得：t=
      1
      2
      ．
      ②若∠QMA=90°，此时QM与QP重合，
      ∴QM=QP=MA，
      ∴1+t=4-2t
      ∴t=1．
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