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  • 如图，二次函数y=-x2+px+q的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点M在第一象限，∠ABC=30°．（1）求点A、B的坐标和二次函数的关系式；（2）设直线y=x-9与y轴的交点是D，在线段BC上任取一点E（不与B、C重合），经过A、B、E三点的圆交直线BD于点F，①试判断△AEF的形状，并说明理由；②设BF=m，m的取值范围是多少？（直接写出，无需过程）．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，二次函数y=-x2+px+q的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点M在第一象限，∠ABC=30°．
      （1）求点A、B的坐标和二次函数的关系式；
      （2）设直线y=      x-9与y轴的交点是D，在线段BC上任取一点E（不与B、C重合），经过A、B、E三点的圆交直线BD于点F，
      ①试判断△AEF的形状，并说明理由；
      ②设BF=m，m的取值范围是多少？（直接写出，无需过程）．

      试题解答

      见解析
      （1）∵图象与y轴交于点C（0，3），
      ∴CO=3，即q=3，
      ∵∠ABC=30°，
      ∴tan30°=      ，
      ∴BO=3      ，
      ∴B点坐标为：（3      ，0）
      代入解析式得：0=-27+3      p+3，
      解得：p=      ，
      ∴二次函数的关系式为：y=-x      2+x+3；
      ∴0=-x      2+x+3；
      解得：x      1=3，x2=-；
      ∴A点坐标为：（-      ，0）；

      （2）①△AEF是直角三角形，
      理由：∵直线y=      x-9与y轴的交点是D，
      ∴D点坐标为：（0，-9），
      ∵B点坐标为：（3      ，0），C（0，3），
      ∴∠ABC=30°，∠ABD=60°，
      由圆周角定理可得出，∠AFE=∠ABC=30°，∠AEF=∠ABD=60°，
      ∴∠EAF=90°，
      ∴△AEF是直角三角形，
      ②∵最短时AF⊥BF，最长时BF为直径，
      ∴BF为直径，则2AB=BF=      ，
      ∵最短时AF⊥BF时，
      ∵AF⊥AE，BF⊥BC，
      ∴AE∥BF，AF∥BC，
      ∴AE=BF，E点与C点重合时，BF最短，AB为直径，
      ∴∠ACO=30°，
      ∴AE=2AO，
      ∴BF=AE=2AO=      ，
      ∴m的取值范围是：      ＜m＜．
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