锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心．设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂．求证：1?d垂+2?d外=3?d重．试题及答案-解答题-云返教育

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锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心．设外心到三边距离和为d_外，重心到三边距离和为d_重，垂心到三边距离和为d_垂．
求证：1?d_垂+2?d_外=3?d_重．

试题解答

见解析

证明：设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，C．
易知d_外=OO₁+OO₂+OO₃=cosA+cosB+cosC，
∴2d_外=2（cosA+cosB+cosC）．①
∵AH₁=sinB?AB=sinB?（2sinC）=2sinB?sinC，
同样可得BH₂=2sinC?sinA，CH₃=2sinA?sinB．
∴3d_重=△ABC三条高的和=2?（sinB?sinC+sinC?sinA+sinA?sinB） ②，
∴

sin∠BCH

=2，
∴HH₁=cosC?BH=2?cosB?cosC．
同样可得HH₂，HH₃．
∴d_垂=HH₁+HH₂+HH₃=2（cosB?cosC+cosC?cosA+cosA?cosB） ③，
∴①+③，得1?d_垂+2?d_外=2（cosA+cosB+cosC）+2（cosB?cosC+cosC?cosA+cosA?cosB），
=2（cosA+cosB+cosC+cosB?cosC+cosC?cosA+cosA?cosB），
观察①、②、③，可得（cosB?cosC+cosC?cosA+cosA?cosB）+（cosA+cosB+cosC）=sinB?sinC+sinC?sinA+sinA?sinB．
则1?d_垂+2?d_外=3?d_重．

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九年级上浙教版解答题初学数学

锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心．设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂．求证：1?d垂+2?d外=3?d重．试题及答案-解答题-云返教育

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