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  • （2012?广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2√5，sin∠BCP=√55，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2012?广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
      （1）求证：直线CP是⊙O的切线．
      （2）若BC=2
      √5
      ，sin∠BCP=
      √5
      5
      ，求点B到AC的距离．
      （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
      ∴2∠BCP+2∠BCA=180°，
      ∴∠BCP+∠BCA=90°，
      又C点在直径上，
      ∴直线CP是⊙O的切线．

      （2）如右图，作BD⊥AC于点D，
      ∵PC⊥AC
      ∴BD∥PC
      ∴∠PCB=∠DBC
      ∵BC=2
      √5
      ，sin∠BCP=
      √5
      5
      ，
      ∴sin∠BCP=sin∠DBC=
      DC
      BC
      =
      DC
      2
      √5
      =
      √5
      5
      ，
      解得：DC=2，
      ∴由勾股定理得：BD=4，
      ∴点B到AC的距离为4．

      （3）如右图，连接AN，
      ∵AC为直径，
      ∴∠ANC=90°，
      ∴Rt△ACN中，AC=
      CN
      cos∠ACN
      =
      CN
      sin∠BCP
      =
      √5
      √5
      5
      =5，
      又CD=2，
      ∴AD=AC-CD=5-2=3．
      ∵BD∥CP，
      ∴
      BD
      CP
      =
      AD
      AC
      ，
      ∴CP=
      20
      3
      ．
      在Rt△ACP中，AP=
      √AC2+CP2
      =
      25
      3
      ，
      AC+CP+AP=5+
      20
      3
      +
      25
      3
      =20，
      ∴△ACP的周长为20．
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