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  • 如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点D、E，过E作BC的垂线交BC于点F，交⊙O于M，P是弧BC中点，连接PC交EM于点G，若AB=13，AE=5，tan∠BGF=4．求：（1）EM的长；（2）AD的长．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点D、E，过E作BC的垂线交BC于点F，交⊙O于M，P是弧BC中点，连接PC交EM于点G，若AB=13，AE=5，tan∠BGF=4．求：（1）EM的长；（2）AD的长．

      试题解答

      见解析
      解：（1）连接BE、BP，BM，
      则∠BEC=90°，∠P=90°，
      ∵P为弧BC中点，
      ∴∠BCP=∠CBP=45°，
      ∵EM⊥BC与F，
      ∴∠EFC=90°，
      于是△CFG为等腰直角三角形，GF=FC，
      又∵tan∠BGF=4，
      设BF=4x，则FG=x，于是FC=x，
      根据射影定理，BE      2=BF?BC=4x?5x，
      即12      2=20x2，x2=
      36
      5
      ，x=
      6
      √5
      5
      ．
      根据相交弦定理，EF      2=BF?CF，得EF2=4x?x，
      EF      2=4x2=4×
      36
      5
      =
      144
      5
      ，EF=
      12
      √5
      5
      ；
      EM=2×
      12
      √5
      5
      =
      24
      √5
      5
      ．

      （2）在Rt△BEC中，根据射影定理，EC      2=BC?CF=5x?x=5×
      36
      5
      =36，解得EC=6或EC=-6（负值舍去）．
      根据割线定理AD?AB=AE?AC，
      得13AD=5×（5+6），
      解得AD=
      55
      13
      ．
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      九年级下浙教版解答题初学数学

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