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  • 如图1，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S=S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图1，点C将线段AB分成两部分，如果
      AC
      AB
      =
      BC
      AC
      ，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果
      S1
      S
      =
      S2
      S1
      ，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
      （1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
      （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
      （3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
      （4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．

      试题解答

      见解析
      解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
      设△ABC的边AB上的高为h．
      则      S△ADC=
      1
      2
      AD?h，S△BDC=
      1
      2
      BD?h，S△ABC=
      1
      2
      AB?h，
      ∴
      S△ADC
      S△ABC
      =
      AD
      AB
      ，
      S△BDC
      S△ADC
      =
      BD
      AD
      ．
      又∵点D为边AB的黄金分割点，
      ∴
      AD
      AB
      =
      BD
      AD
      ，
      ∴
      S△ADC
      S△ABC
      =
      S△BDC
      S△ADC
      ．
      故直线CD是△ABC的黄金分割线．

      （2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
      ∴      s1=s2=
      1
      2
      s，即
      s1
      s
      ≠
      s2
      s1
      ，
      故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．

      （3）∵DF∥CE，
      ∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，
      ∴S      △DFC=S△DFE，
      ∴S      △ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．
      又∵
      S△ADC
      S△ABC
      =
      S△BDC
      S△ADC
      ，
      ∴
      S△AEF
      S△ABC
      =
      S四边形BEFC
      S△AEF
      ．
      因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）

      （4）画法不惟一，现提供两种画法；
      画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
      画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．

      （9分）
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