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  • 设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：当n=1，则a+b＞c；
      当n=2，则a      2+b2=c2；
      当n≥3，则a      n+bn＜cn，
      证明如下：
      ∵sinA=
      a
      c
      ，cosA=
      b
      c
      ，
      而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
      ∴n≥3，sin      nA＜sin2A，connA＜con2A，
      ∴sin      nA+connA＜sin2A+con2A=1，
      即(
      a
      c
      ) n+(
      b
      c
      ) n＜1，
      ∴a      n+bn＜cn．
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