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  • 若函数f（x）=x+ax定义域为（0，2]，a为实数．（1）当a=1时，证明f（x）在（0，1]单调递减，在[1，2]单调递增；（2）若函数y=f（x）在（0，2]上是减函数，求a的取值范围；（3）讨论函数y=f（x）在x∈（0，2]上的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若函数f（x）=x+
      a
      x
      定义域为（0，2]，a为实数．
      （1）当a=1时，证明f（x）在（0，1]单调递减，在[1，2]单调递增；
      （2）若函数y=f（x）在（0，2]上是减函数，求a的取值范围；
      （3）讨论函数y=f（x）在x∈（0，2]上的值域．

      试题解答

      见解析
      解：（1）a=1时，f（x）=x+
      1
      x
      ，任取x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=（x1+
      1
      x1
      ）-（x2+
      1
      x2
      ）=（x1-x2）
      (x1x2-1)
      x1x2
      ，
      ∵0＜x      1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-1＜0；
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），
      即f（x）在（0，1]上单调递减；
      同理，任取x      1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=（x1+
      1
      x1
      ）-（x2+
      1
      x2
      ）=（x1-x2）
      (x1x2-1)
      x1x2
      ，
      ∵1≤x      1＜x2≤2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-1＞0；
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      ∴f（x      1）＜f（x2），即f（x）在[1，2]上单调递增；
      （2）∵函数y=f（x）在（0，2]上是减函数，
      ∴任取x      1，x2∈（0，2]，且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=(x1+
      a
      x1
      )-(x2+
      a
      x2
      )=(x1-x2)
      (x1x2-a)
      x1x2
      ＞0恒成立，
      ∴0＜x      1＜x2≤2，∴x1-x2＞0，x1x2＞0恒成立，x1x2-a＜0，
      即a≥4；∴a的取值范围{a|a≥4}；
      （3）任取x      1，x2∈（0，2]，且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=(x1+
      a
      x1
      )-(x2+
      a
      x2
      )=(x1-x2)
      (x1x2-a)
      x1x2
      ；
      ∵0＜x      1＜x2≤2，
      ∴x      1-x2＜0，x1x2＞0；
      ①当a≥4时，由（2）知，y=f（x）在（0，2]上是减函数，
      ∴f(x)≥f(2)=2+
      a
      2
      ，即值域为[2+
      a
      2
      ，+∞)；
      ②当0＜a＜4时，      x1，x2∈(0，
      √a
      ]，
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，x1，x2∈(
      √a
      ，2]，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0
      得f(x)在(0，
      √a
      ]单减，在[
      √a
      ，2]单增，
      ∴f(x)≥f(
      √a
      )=2
      √a
      ，即值域为[2
      √a
      ，+∞)；
      ③a=0时，值域为（0，2]；
      ④a＜0时，∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      y=f（x）在（0，2]上单调递增，值域为(-∞，2+
      a
      2
      ]．
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