已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）若对于任意的t∈R，不等式f（mt2-2t）+f（1-t2）＜0恒成立，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知定义域为R的函数f(x)=

-2^x+b

2^x+1+a

是奇函数，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）若对于任意的t∈R，不等式f（mt²-2t）+f（1-t²）＜0恒成立，求m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，且f（-1）=-f（1）；
即

-1+b

2+a

=0，且

1+a

-2+b

4+a

；
解得a=2，b=1；
∴f（x）的解析式为f（x）=

-2^x+1

2^x+1+2

；
（2）∵f（x）=

-2^x+1

2^x+1+2

，
∴f（x）=-

2^x-1

2(2^x+1)

2^x+1

是R上的减函数；
证明如下：在R上任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（

2^x₁+1

）-（

2^x₂+1

）=

2^x₂-2^x₁

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

；
∵x₁＜x₂，∴2^x₂-2^x₁＞0，2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，
∴

2^x₂-2^x₁

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

＞0；即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）R上的减函数；
（3）∵f（mt²-2t）+f（1-t²）＜0恒成立，∴f（mt²-2t）＜-f（1-t²）；
∵f（x）是奇函数，∴-f（1-t²）=f（t²-1），∴f（mt²-2t）＜f（t²-1）；
∴f（mt²-2t）＜f（t²-1），
又∵f（x）是减函数，∴mt²-2t＞t²-1，
即（m-1）t²-2t+1＞0恒成立，
∴

{	m-1＞0 4-4(m-1)＜0

，解得m＞2；
∴m的取值范围是{m|m＞2}???

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）若对于任意的t∈R，不等式f（mt2-2t）+f（1-t2）＜0恒成立，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题