定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b），（Ⅰ）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）?f（2x-x2）＞1，求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b），
（Ⅰ）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）?f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）令a=x，b=-x则 f（0）=f（x）f（-x）∴f（-x）=

f(x)

由已知x＞0时，f（x）＞1＞0，
当x＜0时，-x＞0，f（-x）＞0
∴f（-x）=

f(x)

＞0
又x=0时，f（0）=1＞0
∴对任意x∈R，f（x）＞0
（Ⅱ）当b＞0时，有a+b＞b，有f（a+b）-f（a）=f（a）f（b）-f（a）=f（a）（f（b）-1）
又由当x＞0时，f（x）＞1，
则f（a+b）-f（a）＞0，
故f（x）在R上递增；
f（x）?f（2x-x²）=f[x+（2x-x²）]=f（-x²+3x）
又1=f（0），f（x）在R上递增
∴由f（3x-x²）＞f（0）得：3x-x²＞0∴0＜x＜3

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必修1 人教A版单选题高中数学

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