定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x）．当x∈（0，1）时有：f(x)=2x4x+1．（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性并用定义证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x）．当x∈（0，1）时有：f(x)=

2^x

4^x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性并用定义证明．

见解析

解：（1）设x∈（-1，0）则-x∈（0，1）
∵?x∈R，f（-x）=-f（x），且x∈（0，1）时，f(x)=

2^x

4^x+1

，
∴x∈（-1，0）时，有f(x)=-f(-x)=-

2^-x

4^-x+1

2^x

4^x+1

..（3分）
在f（-x）=-f（x）中，令x=0，f（-0）=-f（0）?f（0）=0．（5分）
综上：当x∈（-1，1）时，有：f(x)=

{

2^x

4^x+1

，x∈(0，1)

2^x

4^x+1

，x∈(-1，0)

0，x∈{0}

（7分）
（2）f（x）在（0，1）上是减函数（8分）
证明：设0＜x₁＜x₂＜1则x₂-x₁???0，0＜x₁+x₂＜2，∴2^x₁+x₂＞1，2^x₂＞2^x₁．（10分）
∴f(x₂)-f(x₁)=

2^x₂

4^x₂+1

2^x₁

4^x₁+1

(2^x₁-2^x₂)(2^x₁+x₂-1)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

＜0（13分）
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，1）上是减函数（14分）

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