设f（x）=log 121-axx-1（a为常数）的图象关于原点对称（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；（3）若对于区间[3，4]上的每一个x的值，f（x）＞（12）x+m恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设f（x）=log _1
2

1-ax

x-1

（a为常数）的图象关于原点对称
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；
（3）若对于区间[3，4]上的每一个x的值，f（x）＞（

）^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

见解析

解：（1）由题意可得，f（x）为奇函数，故有 f（-x）=-f（x），即 log_1
2

1+ax

-x-1

=-log_1
2

1-ax

x-1

，
即 log_1
2

1+ax

-x-1

=log_1
2

x-1

1-ax

，∴

1+ax

-x-1

x-1

1-ax

，解得a=±1． …（3分）
经检验，当a=1时不合条件，故a=-1． …（4分）
（2）由（1）可得f（x）=log _1
2

x+1

x-1

，函数在区间（1，+∞）内单调递增．…（10分）
证明：令g（x）=

x+1

x-1

=1+

x-1

，由于

x-1

在区间（1，+∞）内单调递减，
故函数g（x）在区间（1，+∞）内单调递减，故函数f（x）=log _1
2

x+1

x-1

在区间（1，+∞）内单调递增．
（3）令h（x）=f（x）-(

)^x，则由（2）得h（x）在[3，4]上单调递增，…（12分）
故g（x）的最小值为g（3）=-

． …（14分）
m＜-

．…（16分）

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