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三位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R) 时,分别给出下面三个结论:①函数f(x)的值域为 (-1,1)②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2)③若规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],则fn(x)=x1+n|x|对任意n∈N*恒成立.你认为上述三个结论中正确的个数有 .试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
三位同学在研究函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R) 时,分别给出下面三个结论:
①函数f(x)的值域为 (-1,1)
②若x
1
≠x
2
,则一定有f(x
1
)≠f(x
2
)
③若规定f
1
(x)=f(x),f
n+1
(x)=f[f
n
(x)],则
f
n
(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N
*
恒成立.
你认为上述三个结论中正确的个数有
.
试题解答
3
解:函数f(x)=
x
1+|x|
化为分段函数即函数f(x)=
{
x
1+x
(x≥0)
x
1-x
(x<0)
∵f(-x)=-f(x)
∴函数f(x)=
x
1+|x|
为奇函数,
∵x≥0时,f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
∈[0,1)
∴函数f(x)的值域为 (-1,1),故①正确
∵x≥0时,f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
为[0,+∞)的单调增函数
∴函数f(x)为R上的单调增函数,
∴若x
1
≠x
2
,则一定有f(x
1
)≠f(x
2
),故②正确
下面用数学归纳法证明③正确
证明:n=1时,命题显然成立;
假设n=k时命题成立,即
f
k
(x)=
x
1+k|x|
则n=k+1时,f
k+1
(x)=f(f
k
(x))=
f
k
(x)
1+k|f
k
(x)|
=
x
1+k|x|
1+k|
x
1+k|x|
|
=
x
1+(k+1)|x|
即n=k+1时命题成立
∴
f
n
(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N
*
恒成立
故答案为3
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
在下列五个函数中,①y=2x,②y=log2x,③y=x2,④y=x-1,⑤y=cos2x.当0<x1<x2<1时,使f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2恒成立的函数是 (将正确序号都填上).?
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对于函数y=f(x),定义域为D,以下命题正确的是(只要求写出命题的序号) ;①若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则y=f(x)是D上的偶函数;②若f(-1)<f(0)<f(1)<f(2),则y=f(x)是D上的递增函数;③若f'(2)=0,则y=f(x)在x=2处一定有极大值或极小值;④若?x∈D,都有f(x+1)=f(-x+3)成立,则y=f(x)图象关于直线x=2对称.?
设,则的大小关系是?
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已知是上增函数,若,则a的取值范围是?
函数的最大值为 .?
第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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