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  • 已知f(x)=ax+bx2+1是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且满足f(12)=25，f(0)=0（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(x)=
      ax+b
      x2+1
      是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且满足f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ，f(0)=0
      （1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式
      （2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由满足f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ，f(0)=0，
      ∴
      {
      1
      2
      a+b
      1
      4
      +1
      =
      2
      5
      b=0
      ，解得
      {
      a=1
      b=0
      ．
      ∴a=1，b=0，f(x)=
      x
      x2+1
      ；
      （2）证明：设-1＜x      1＜x2＜1，
      f(x      2)-f(x1)=
      x2
      x
      2
      2
      +1
      -
      x1
      x
      2
      1
      +1
      =
      x2x12+x2-x1x
      2
      2
      -x1
      (x
      2
      2
      +1)(x
      2
      1
      +1)
      =
      (x2-x1)(1-x1x2)
      (x22+1)(x12+1)
      ，
      ∵-1＜x      1＜x2＜-1，∴-1＜x1?x2＜1，即1-x1x2＞0，x2-x1＞0，x12+1＞0，x22+1＞0，
      ∴f（x      2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．
      所以函数f（x）在（-1，1）上是增函数．
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