已知函数f(x)=aa2-1(ax-a-x) ， x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t2）＜0，求t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

a²-1

(a^x-a^-x) ， x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t²）＜0，求t的取值范围．

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见解析

解：（1）因为函数f（x）的定义域为R，又f（-x）=

a²-1

（a^-x-a^x）=-f（x）
所以f（x）是奇函数
当a＞1，函数f（x）为R上的增函数．
证明：在R上任取x₁＜x_2，则 f(x₁)-f(x₂)=

a²-1

(a^x₁-a^-x₁-a^x₂+a^-x₂)
=

a²-1

(a^x₁-a^x₂) (

a^x₁ a^x₂ +1

a^x₁a^x₂

)
因为x₁＜x₂，又a＞1，所以 a^x₁＜a^x₂，a^x₁-a^x₂＜0，

a^x₁a^x₂+1

a^x₁a^x₂

＞0，

a²-1

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）为R上的增函数
同理，当0＜a＜1时，函数f（x）为R上的增函数
（2）由f（1-t）+f（1-t²）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t²）．
由函数f（x）是奇函数，可得f（1-t）＜f（t²-1）．
又函数f（x）为R上的增函数，所以1-t＜t²-1，即t²+t-2＞0．

{	-1＜1-t＜1 -1＜1-t²＜1 t²+t-2＞0

∴1＜t＜

√2

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f(x)=aa2-1(ax-a-x) ， x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t2）＜0，求t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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