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  • 已知函数f（x）=lnx-ax2+x（a∈R）（1）求a的最大值，使函数f（x）在（0，+∞）内是单调函数．（2）若对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=lnx-ax2+x（a∈R）
      （1）求a的最大值，使函数f（x）在（0，+∞）内是单调函数．
      （2）若对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）求导函数可得f′(x)=
      1
      x
      -2ax+1
      令f′(x)=
      1
      x
      -2ax+1≥0，
      ∵x＞0，∴2a≤
      1
      x2
      +
      1
      x
      =(
      1
      x
      +
      1
      2
      )2-
      1
      4

      ∵x＞0，∴
      1
      x2
      +
      1
      x
      ≥0
      ∴2a≤0，∴a最大值为0
      f′(x)=
      1
      x
      -2ax+1≤0，即-2ax2+x+1≤0，函数在（0，+∞）内不是单调函数
      综上，a最大值为0；
      （2）由（1）知，a≤0，函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数，f（x）＞0
      ∴a＞0
      构造函数      y1=lnx，y2=ax2-x
      ∵对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，
      ∴对于任意的x∈（0，+∞），总有y      1＜y2，即对于任意的x∈（0，+∞），y1=lnx在y2=ax2-x的下方，
      如图所示，
      ∴0＜
      1
      a
      ≤1，
      ∴a≥1
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