已知函数f（x）=x-aax（a＞0）（1）判断并证明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性；（2）若存在x0，使f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的不动点，现已知该函数在（0，+∞）上有两个不等的不动点，求a的取值范围；（3）若y═1x+1f（x）的值域为{y|y≥9或y≤1}，求实数a的值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

x-a

（a＞0）
（1）判断并证明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性；
（2）若存在x₀，使f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的不动点，现已知该函数在（0，+∞）上有两个不等的不动点，求a的取值范围；
（3）若y═

x+1

f（x）的值域为{y|y≥9或y≤1}，求实数a的值．

见解析

解：（1）f（x）在（0，+∞）上单调递增，
理由如下：设0＜m＜n，则f（m）-f（n）=

m-a

n-a

m-n

，由于0＜m＜n，则m-n＜0，mn＞0，则f（m）-f（n）＜0，
即有f（m）＜f（n）．则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）令f（x）=x，即有

=x+

，
由于x＞0时，x+

≥2，当且仅当x=1取最小值2，
则

＞2，解得0＜a＜

；
（3）由于y=

x+1

x-a

，即为ayx²+（ay-1）x+a=0，
由判别式大于等于0，得，（ay-1）²-4a²y≥0，
即有a²y²-（2a+4a²）y+1≥0，
由函数的值域，可知1，9是a²y²-（2a+4a²）y+1=0的两根，
则有1+9=

2a+4a²

a²

，且1×9=

a²

，
解得，a=

．

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