设函数f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=√2x+1+k为闭函数，则k的取值范围是．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．
①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．
如果函数f（x）=

√2x+1

+k为闭函数，则k的取值范围是．

（-1，

]

解：若函数f（x）=

√2x+1

+k为闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即

{	a= √2a+1 +k b= √2b+1 +k

，
∴a，b是方程x=

√2x+1

+k的两个实数根，
即a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x≥-

，x≥k）的两个不相等的实数根，
当k≤-

时，

{

△=[-(2k+2)]²-4(k²-1)＞0

f(-

(2k+2)+k²-1≥0

2k+2

＞-

解得，-1＜k≤-

；
当k＞-

时，

{

△=[-(2k+2)]²-4(k²-1)＞0

f(k)=k²-(2k+2)?k+k²-1＞0

2k+2

＞k

解得k无解．
综上，可得-1＜k≤-

．
故答案为：（-1，-

]

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