已知函数f(x)=a2-2x2x+1（a为常数）（1）是否存在实数a，使函数f（x）是R上的奇函数，若不存在，说明理由，若存在，求函数f（x）的值域；（2）探索函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

2^x

2^x+1

（a为常数）
（1）是否存在实数a，使函数f（x）是R上的奇函数，若不存在，说明理由，若存在，求函数f（x）的值域；
（2）探索函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明．

试题解答

见解析

解：（1）若f（x）是R上的奇函数，
则f(0)=

1+1

=0?a=1，
而当a=1时，f(x)=

2^x

2^x+1

2^x-1

2(2^x+1)

的定义域为R，
且对x∈R，有f(-x)=

2^-x-1

2(2^-x+1)

2^x-1

2(2^x+1)

=-f(x)，
因此，存在a=1，使函数f（x）是R上的奇函数．
由y=

2^x-1

2(2^x+1)

，
得2^x=

-2y-1

2y-1

．
∵2^x＞0，
∴

-2y-1

2y-1

＞0?-

＜y＜

故函数f（x）的值域为(-

，

)．
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f(x₁)-f(x₂) =

2^x₁

2^x₁+1

2^x₂

2^x₂+1

2^x₂

2^x₂+1

2^x₁

2^x₁+1

2^x₂-2^x₁

(2^x₂+1)(2^x₁+1)

．
∵y=2^x是R上的增函数，∴2^x₂＞2^x₁，
又2^x₂+1＞0，2^x₁+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0?f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）是R上的减函数．

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已知函数f(x)=a2-2x2x+1（a为常数）（1）是否存在实数a，使函数f（x）是R上的奇函数，若不存在，说明理由，若存在，求函数f（x）的值域；（2）探索函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

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