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  • 已知函数f（x）=a?2x+a-12x+1．（I）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；（II）确定a的值，使f（x）为奇函数；（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      a?2x+a-1
      2x+1
      ．
      （I）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
      （II）确定a的值，使f（x）为奇函数；
      （Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

      试题解答

      见解析
      （I）证明：f（x）=
      a?2x+a-1
      2x+1
      =a-
      1
      2x+1
      ，
      设x      1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（a-
      1
      2x1+1
      ）-（a-
      1
      2x2+1
      ）=
      2x1-2x2
      (2x1+1)(2x2+1)
      ，
      因为x      10，2x2+1＞0，
      所以f（x      1）＜-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
      故不论a为何实数f（x）总是为增函数；
      （II）若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），即a-
      1
      2-x+1
      =-（a-
      1
      2x+1
      ），
      所以2a=
      1
      2-x+1
      +
      1
      2x+1
      =1，即a=
      1
      2
      ．
      故当a=
      1
      2
      时???f（x）为奇函数．
      （Ⅲ）由（II）知，若f（x）为奇函数，a=
      1
      2
      ，f（x）=
      1
      2
      -
      1
      2x+1
      ，
      因为2      x＞0，所以0＜
      1
      2x+1
      ＜1，-1＜-
      1
      2x+1
      ＜0，所以-
      1
      2
      ＜f（x）＜
      1
      2
      ．
      故f（x）的值域为（-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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