已知定义域为R的函数f（x）=b-2x2x-a是奇函数．（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的函数f（x）=

b-2^x

2^x-a

是奇函数．
（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性；
（2）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，b=1．
又f（-1）=-f（1），得a=-1．
经检验a=-1，b=1符合题意．
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1-2^x₁

2^x₁+1

1-2^x₂

2^x₂+1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

．
∵x₁＜x₂，∴2^x₂-2^x₁＞0，又（2^x₁+1）（2^x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）为R上的减函数．
（2）因为不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
所以f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
因为f（x）为奇函数，所以f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又f（x）为减函数，所以t²-2t＞k-2t²，即k＜3t²-2t恒成立，
而3t²-2t=3(t-

)²-

≥-

，
所以k＜-

．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知定义域为R的函数f（x）=b-2x2x-a是奇函数．（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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