A
解：∵f（x）是定义在R上的增函数，
由单调性的定义可知，当x1＜x2，-x1＞-x2，则f（x1）＜f（x2），f（-x1）＞f（-x2）．
∵F（x）=f（x）-f（-x），
故F（x1）-F（x2）=f（x1）-f（-x1）-f（x2）+f（-x2）
=f（x1）-f（x2）+[f（-x2）-f（-x1）]＜0，
∴函数F（x）为单调递增．
再根据函数F（x）的定义域关于原点对称，且F（-x）=f（-x）-f（x）=-F（x），
可得F（x）为奇函数，
故F-1 （x）在其定义域上为奇函数，且单调递增，
故选A．
