函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁、x₂∈D，有f=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

试题解答

见解析

令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）证明：令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解得f（-1）=0．
令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），∴f（-x）=f（x）．∴f（x）为偶函数．
（3）【解析】
f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3．
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3即f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）．
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴ 等价于不等式组