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  • 如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.(1)证明:|PM|·|PN|为定值.(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.

      (1)证明:|PM|·|PN|为定值.
      (2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.

      试题解答

      见解析
      (1)设P(x0,x0+)(x0>0).
      则|PN|=x      0,|PM|==,
      因此|PM|·|PN|=1.
      (2)连接OP,直线PM的方程为
      y-x      0-=-(x-x0),即y=-x+2x0+.
      解方程组
      得x=y=x      0+,所以|OM|=x0+.
      S      四边形OMPN=S△NPO+S△OPM
      =      |PN|·|ON|+|PM|·|OM|
      =      x0(x0+)+(x0+)
      =      +(+)
      ≥      +1,
      当且仅当x      0=,即x0=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为+1.
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      必修2北师大版解答题高中数学

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