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  • 关于函数f(x)=4cos(2x+π3)，x∈R有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f（x）与y=4sin(2x-π6)是同一函数；③y=f（x）的图象关于点(-π6，0)对称；④y=f（x）的图象关于直线x=-π6对称；⑤f(x+π6)=f(x-5π6)．其中正确命题的序号是 ．（注：多选少选均不给分）试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      关于函数f(x)=4cos(2x+
      π
      3
      )，x∈R有下列命题：
      ①由f（x      1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；
      ②y=f（x）与y=4sin(2x-
      π
      6
      )是同一函数；
      ③y=f（x）的图象关于点(-
      π
      6
      ，0)对称；
      ④y=f（x）的图象关于直线x=-
      π
      6
      对称；
      ⑤f(x+
      π
      6
      )=f(x-
      5π
      6
      )．
      其中正确命题的序号是                ．（注：多选少选均不给分）

      试题解答

      ④⑤
      解：对于函数 f(x)=4cos(2x+
      π
      3
      )，x∈R，它的周期等于
      2π
      2
      =π，
      ①由f（x      1）=f（x2）=0，可得x1-x2必是半个周期
      π
      2
      的整数，故①不正确．
      ②f（x）=4cos（2x+
      π
      3
      ）=4sin（
      π
      2
      -2x-
      π
      3
      ）=-4sin（2x+
      π
      3
      -
      π
      2
      ）=4sin（2x-
      π
      6
      ），故②不正确．
      ③由2x+
      π
      3
      =kπ+当x=-
      π
      6
      时，函数f（x）=4≠0，故f（x）的图象不关于点(-
      π
      6
      ，0)对称，故③不正确．
      ④当x=-
      π
      6
      时，函数f（x）=4，是函数的最大值，故f（x）的图象关于直线x=-
      π
      6
      对称，故④正确．
      ⑤∵f(x+
      π
      6
      )=4cos[2(x+
      π
      6
      )+
      π
      3
      ]=4cos（2x+
      2π
      3
      ），f(x-
      5π
      6
      )=4cos[2（x-
      5π
      6
      ）+
      π
      3
      ]=
      4cos（2x-
      4π
      3
      ）=4cos（2x+
      2π
      3
      ），故f(x+
      π
      6
      )=f(x-
      5π
      6
      )，故⑤正确．
      故答案为：④⑤．
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