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  • 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为13，12；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为35，25，记第n次按下按钮后出现红球的概率为Pn．（1）求P2的值；（2）当n∈N*，n≥2时，①求用Pn-1表示Pn的表达式；②求Pn关于n的表达式．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是
      1
      2
      ，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为
      1
      3
      ，
      1
      2
      ；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为
      3
      5
      ，
      2
      5
      ，记第n次按下按钮后出现红球的概率为Pn．
      （1）求P      2的值；
      （2）当n∈N      *，n≥2时，
      ①求用P      n-1表示Pn的表达式；
      ②求P      n关于n的表达式．

      试题解答

      见解析
      解：（1）P2是“第二次按下按钮后出现红球”．
      若第一次，第二次均出现红球，则概率为：
      1
      2
      ×
      1
      3
      =
      1
      6
      ，
      第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：
      1
      2
      ×
      3
      5
      =
      3
      10
      ，
      故所求概率为：P      2=
      1
      6
      +
      3
      10
      =
      7
      15
      ．
      （2）①设第n-1次按下按钮出现红球的概率为：P      n-1，n∈N，n≥2，则出现绿球的概率为：1-Pn-1．
      若第n-1次，第n次均出现红球，其概率为：      Pn-1×
      1
      3
      ，
      若第n-1次，第n次依次出现绿球，红球，其概率为：（1-P      n-1）
      3
      5
      ，
      ∴P      n=
      1
      3
      P n-1+
      3
      5
      （1-Pn-1 ）=
      3
      5
      -
      4
      15
      Pn-1，即Pn=
      3
      5
      -
      4
      15
      Pn-1???n∈N，n≥2．
      ②设 P      n+x=-
      4
      15
      （Pn-1+x），即 Pn=-
      4
      15
      Pn-1-
      19
      15
      x．
      令-
      19
      15
      x=
      3
      5
      ，解得 x=
      -9
      19
      ，∴Pn-
      9
      19
      =-
      4
      15
      （Pn-1-
      9
      19
      ），
      故{ P      n-
      9
      19
      }是等比数列，首项等于P1-
      9
      19
      =
      1
      38
      ，公比等于-
      4
      15
      ．
      ∴      Pn-
      9
      19
      =
      1
      38
      (-
      4
      15
      )n-1，∴Pn=
      1
      38
      (-
      4
      15
      )n-1+
      9
      19
      ．
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