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等差数列{an}的前n项和为Sn,已知(a1006-1)3+2013(a1006-1)=1,(a1008-1)3+2013(a1008-1)=-1,则( )试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知(a
1006
-1)
3
+2013(a
1006
-1)=1,(a
1008
-1)
3
+2013(a
1008
-1)=-1,则( )
试题解答
B
解:∵(a
1006
-1)
3
+2013(a
1006
-1)=1>0,(a
1008
-1)
3
+2013(a
1008
-1)=-1<0,
∴a
1006
>1,a
1008
<1,即a
1008
<a
1006
,
设a=a
1006
-1,b=a
1008
-1,
则a>0,b<0,
则条件等价为:a
3
+2013a=1,b
3
+2013b=-1,
两式相加得a
3
+b
3
+2013(a+b)=0,
即(a+b)(a
2
-ab+b
2
)+2013(a+b)=0,
∴(a+b)(a
2
-ab+b
2
+2013)=0,
∵a>0,b<0,
∴ab<0,-ab>0,
即a
2
-ab+b
2
+2013>0,
∴必有a+b=0,
即a
1006
-1+a
1008
-1=0,
∴a
1006
+a
1008
=2,即a
1006
+a
1008
=a
1
+a
2013
=2,
∴S
2013
=
2013(a
1
+a
2013
)
2
=2013,
故选:B.
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