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  • 已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且Sn=12anan+1(n∈N*)．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求证：对任意n∈N*，12≤1a1-1a2+1a3-1a4+1a5-1a6+…+1a2n-1-1a2n＜√22．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且Sn=
      1
      2
      anan+1(n∈N*)．
      （I）求数列{a      n}的通项公式；
      （II）求证：对任意n∈N      *，
      1
      2
      ≤
      1
      a1
      -
      1
      a2
      +
      1
      a3
      -
      1
      a4
      +
      1
      a5
      -
      1
      a6
      +…+
      1
      a2n-1
      -
      1
      a2n
      ＜
      √2
      2
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（I）由题设知2Sn=anan+1，2Sn+1=an+1an+3，
      ∴2a      n+1=an+1（an+2-an），
      ∵a      n≠0，∴an+2-an=2，
      ∵a      1=1，a2=2，
      ∴a      n=n（n∈N+）．
      （II）令      bn=
      1
      a2n-1
      -
      1
      a2n
      =
      1
      a2n-1a2n
      ＞0，
      Tn=
      1
      a1
      -
      1
      a2
      +
      1
      a3
      -
      1
      a4
      +…+
      1
      a2n-1
      -
      1
      a2n

      =      b1+b2+…+bn≥b1=
      1
      2
      ．
      ∵（2n-1）?2n=（2n）      2-2n＞(2n)2-n-
      3
      4
      =(2n-
      3
      2
      ) (2n+
      1
      2
      )，
      ∴      bn＜
      1
      (2n-
      3
      2
      ) (2n+
      1
      2
      )
      =
      1
      4n-3
      -
      1
      4n+1
      ，
      T1=
      1
      2
      ＜
      √2
      2
      ，T2=
      7
      12
      ＜
      √2
      2
      ，T3=
      37
      60
      ＜
      √2
      2
      ，
      n≥4时，T      n=T3+b4+b5+…+bn
      ＜
      37
      60
      +(
      1
      13
      -
      1
      17
      ) +(
      1
      17
      -
      1
      21
      ) +…+(
      1
      4n-3
      -
      1
      4n+1
      )
      =
      541
      780
      -
      1
      4n+1
      ＜
      546
      780
      =0.7＜
      √2
      2
      ，
      ∴对任意n∈N      *，
      1
      2
      ≤
      1
      a1
      -
      1
      a2
      +
      1
      a3
      -
      1
      a4
      +
      1
      a5
      -
      1
      a6
      +…+
      1
      a2n-1
      -
      1
      a2n
      ＜
      √2
      2
      ．
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