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  • 已知{an}为等差数列，{bn}为各项均是正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3求：（Ⅰ）数列{an}、{bn}的通项公式an、bn；（Ⅱ）数列{8anb2n}的前n项的和Sn．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知{an}为等差数列，{bn}为各项均是正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3
      求：（Ⅰ）数列{a      n}、{bn}的通项公式an、bn；
      （Ⅱ）数列{8a      nb2n}的前n项的和Sn．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ） 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q（q＞0），得2a3=a2+a4，b32=b2?b4，
      又a      2+a4=b3，b2?b4=a3，
      ∴2b      32=b3
      ∵b      n＞0∴b3=
      1
      2

      由　      b3=1?q2=
      1
      2
      得q=
      √2
      2
      （2分）
      由2a      3=
      1
      2
      ，a1=1得：d=-
      3
      8
      （4分）
      ∴      an=
      11
      8
      -
      3
      8
      n，bn=2
      1-n
      2
      （n∈N+）　　　（6分）
      （Ⅱ）设c      n=8an，dn=bn2显然数列{cn}是以8为首项，公差为-3的等差数列，数列{dn}是以1为首项，公比为
      1
      2
      的等比数列，sn=c1d1+c2d2+…+cndn①等式两边同乘以
      1
      2
      ，
      得
      1
      2
      Sn=c1d2+c2d3+…+cn-1dn+cndn+1②
      由①-②得
      1
      2
      Sn=c1d1-3d2-3d3-…-3dn-cndn+1
      =8-3?
      1
      2
      (1-(
      1
      2
      )n-1)
      1-
      1
      2
      -(11-3n)?2-n
      =5+
      3n-5
      2n

      因此　       Sn=10+
      3n-5
      2n-1
      （n∈N+）　　　（9分）
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