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  • 如右图所示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零）（1）试判断函数f(x)=x3+48x在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；（2）已知某质点的运动方程为S(t)=at-2√t+1，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质???的瞬时速度是以A=12为下界的函数，求实数a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如右图所示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零）
      （1）试判断函数f(x)=x      3+
      48
      x
      在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
      （2）已知某质点的运动方程为S(t)=at-2
      √t+1
      ，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质???的瞬时速度是以A=
      1
      2
      为下界的函数，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数f(x)=x3+
      48
      x
      在（0，+∞）上有下界32．
      理由如下：
      ∵f(x)=x      3+
      48
      x
      ，
      ∴      f′(x)=3x2-
      48
      x2
      ，
      由      f′(x)=3x2-
      48
      x2
      =0，
      得x=2，或x=-2（舍）
      列表：
      x （0，2） 2 （2，+∞）
      f′（x） - 0 +
      f（x） ↓ 极小值 ↑
      极小值f（2）=8+
      48
      2
      =32．
      ∵只有一个极小值，
      ∴f（x）≥32，
      函数f(x)=x      3+
      48
      x
      在（0，+∞）上有下界32．
      （2）质点在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度：
      v=S′(t)=a-
      1
      √t+1
      ，
      依题意得对?t∈[0，+∞）有a-
      1
      √t+1
      ≥
      1
      2
      ；
      即：a≥
      1
      √t+1
      +
      1
      2
      对?t∈[0，+∞）恒成立．
      所以 a≥
      3
      2
      ．
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