设函数f（x）=x2ex-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．（1）求a和b的值；（2）设g(x)=23x3-x2，试比较f（x）与g（x）的大小．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设g(x)=

x³-x²，试比较f（x）与g（x）的大小．

见解析

解：（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），
由x=-2和x=1为f（x）的极值点，得

{	f′(-2)=0 f′(1)=0.

即

{	-6a+2b=0 3+3a+2b=0

解得

{

a=-

b=-1.

（2）由（1）得f(x)=x²e^x-1-

x³-x²，
故f(x)-g(x)=x²e ^x-1-

x³-x²-

x³+x²=x²(e^x-1-x)．
令h（x）=e^x-1-x，则h'（x）=e^x-1-1．（9分）
令h'（x）=0，得x=1．（10分）h'（x）、h（x）随x的变化情况如表：

由上表可知，当x=1时，h（x）取得极小值，也是最小值；即当x∈（-∞，+∞）时，h（x）≥h（1），
也就是恒有h（x）≥0．
又x²≥0，
所以f（x）-g（x）≥0，
故对任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．

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