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  • 已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）（1）要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，试求a的取值范围；（2）若x∈[0，1]时，f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，试求当θ∈[0，π4]时，a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）
      （1）要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，试求a的取值范围；
      （2）若x∈[0，1]时，f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，试求当θ∈[0，
      π
      4
      ]时，a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f′（x）=-3x2+2ax，
      由题设，当x∈（0，1）时，f′（a）＞0恒成立，
      即-3x      2+2ax＞0恒成立，
      ∴a＞
      3
      2
      x恒成立，
      ∴a≥
      3
      2
      （6分）
      （2）当x∈[0，1]时，tanθ=f′（x）=-3x      2+2ax
      ∵θ∈[0，
      π
      4
      ]．∴0≤f′(x)≤1．
      ∴0≤-3x      2+2ax≤1
      在x∈[0，1]恒成立，由（1）知，当-3x      2+2ax≥0时，a≥
      3
      2
      ，
      由-3x      2+2ax≥1?a≤
      1
      2
      (3x+
      1
      x
      )恒成立，
      又
      1
      2
      (3x+
      1
      x
      )min=
      √3
      ，∴a≤
      √3

      ∴
      3
      2
      ≤a≤
      √3
      （12分）
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