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已知e是自然对数的底，若函数f（x）=|ex-bx|有且只有一个零点，则实数b的取值范围是．试题及答案-填空题-云返教育

试题详情

已知e是自然对数的底，若函数f（x）=|e^x-bx|有且只有一个零点，则实数b的取值范围是．

试题解答

（-∞，0）∪{ e}

解：f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一个解，即方程e^x-bx=0有且只有一个解．
因为x=0不满足方程，所以方程同解于b=

e^x

x

．
令h（x）=

e^x

x

，由h′（x）=

(x-1)e^x

x²

=0得x=1．
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）∈（e，+∞）；
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（e，+∞）；
所以当x∈（0，+∞）时，方程b=

e^x

x

有且只有一解等价于b=e．
当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递减，且h（x）∈（-∞，0），
从而方程b=

e^x

x

有且只有一解等价于b∈（-∞，0）．
综上所述，b的取值范围为（-∞，0）∪{e}．

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必修1 人教A版填空题高中数学

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