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  • 已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数．（1）求a的值；（2）讨论函数y=lnxf(x)-x2+2ex-m的零点的个数．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数．
      （1）求a的值；
      （2）讨论函数y=
      lnx
      f(x)
      -x2+2ex-m的零点的个数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数
      ∴满足f（0）=0，
      ∴ln（1+a）=0，
      ∴a=0
      可以验证当a=0时，函数是一个奇函数．

      （2）由已知得：
      lnx
      f(x)
      =
      lnx
      x
      =x2-2ex+m
      令      f1(x)=
      lnx
      x
      ，f2（x）=x2-2ex+m
      ∴      f1′(x)=
      1-lnx
      x2

      当x∈（0，e）时，f      1′（x）≥0
      ∴f      1（x）在（0，e）上是一个增函数；
      当x∈[e，+∞）时，
      f      ′1（x）在[e，+∞）上为减函数．
      当x=e时，f      1（x）的最大值是
      1
      e

      而f      2（x）=（x-e）2+m-e2
      ∴当m-e      2＞
      1
      e
      ，即m＞e2+
      1
      e
      时，方程无解；
      当m-      e2=
      1
      e
      ，即m=e2+
      1
      e
      时，方程有一个根；
      当m-      e2＜
      1
      e
      时，m＜e2+
      1
      e
      时，方程有两个根．
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      必修1人教A版解答题高中数学

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