已知函数f(x)=x-cx+1，其中c为常数，且函数f（x）图象过原点．（1）求c的值；（2）证明函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数；（3）已知函数g(x)=f(ex)-13，求函数g（x）的零点．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

x-c

x+1

，其中c为常数，且函数f（x）图象过原点．
（1）求c的值；
（2）证明函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数；
（3）已知函数g(x)=f(e^x)-

，求函数g（x）的零点．

见解析

解：（1）∵函数f（x）图象过原点，∴f（0）=0，解得 c=0，故函数f（x）=

x+1

．
（2）证明：设0≤x₁＜x₂≤2，
则f（x₁）-f（x₂）=

x₁

x₁+1

x₂

x₂+1

x₁(x₂+1)-x₂(x₁+1)

(x₁+1)(x₂+1)

x₂-x₁

(x₁+1)(x₂+1)

．
由0≤x₁＜x₂≤2 可得，x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，故有-

x₂-x₁

(x₁+1)(x₂+1)

＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂ ），
故函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数．
（3）令g(x)=f(e^x)-

e^x

e^x+1

=0，
∴e^x=

，即x=ln

=-ln2，
即函数g（x）的零点为 x=-ln2．

标签