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  • 设函数f（x）=ax2+bx+1，a＞0，b∈R 的最小值为-a，f（x）=0两个实根为x1、x2．（1）求x1-x2的值；（2）若关于x的不等式f（x）＜0解集为A，函数f（x）+2x在A上不存在最小值，求a的取值范围；（3）若-2＜x1＜0，求b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=ax2+bx+1，a＞0，b∈R 的最小值为-a，f（x）=0两个实根为x1、x2．
      （1）求x      1-x2的值；
      （2）若关于x的不等式f（x）＜0解集为A，函数f（x）+2x在A上不存在最小值，求a的取值范围；
      （3）若-2＜x      1＜0，求b的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：???1）∵f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-
      x1+x2
      2
      )2-a(
      x1-x2
      2
      )2
      ∴-a(
      x1-x2
      2
      )2=-a
      ∴x      1-x2=±2．（4分）
      （2）不妨设x      1＜x2；f（x）+2x=ax2-（a（x1+x2）-2）x+ax1x2，在（x1，x2）不存在最小值，
      ∴
      a(x1+x2)-2
      2a
      ≥x2或
      a(x1+x2)-2
      2a
      ≤x1（8分）
      又x      2-x1=2，a＞0∴0＜a≤1（10分）
      （3）∵      x1+x2=-
      b
      a
      ，x1x2=
      1
      a
      ＞0
      ∴b=-
      x1+x2
      x1x2
      （12分）
      又-2＜x      1＜0
      ∴x      2=x1-2
      ∴b=-
      1
      x1-2
      -
      1
      x1
      在x1∈（-2，0）上为增函数．
      ∴b＞
      3
      4
      （16分）
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