已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有f(a)+f(b)a+b＞0．（1）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论．（2）解不等式f(x+12)＞f(2x-12)（3）若f（x）≤m2-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论．
（2）解不等式f(x+

)＞f(2x-

)
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

见解析

解：（1）函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数．
下用定义证明：
设-1≤x₁＜x₂≤1，
则：f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=

f(x₁)+f(-x₂)

x₁-x₂

(x₁-x₂)＜0，
可知f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：
不等式f(x+

)＞f(2x-

)等价为：

{

-1≤x+

≤1

-1≤2x-

≤1

＞2x-

解得-

≤x≤

，
故不等式的解集[-

，

]．
（3）∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）≤f（1）=1，
即f（x）_max=1
依题意有m²-2am+1≥1，对a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，它的图象是一条线段，
则

{	g(-1)=m²+2m≥0 g(1)=m²-2m≥0

，
即

{	m≥0或m≤-2 m≥2或m≤0

∴m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

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