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  • 设函数f（x）=x+a√1-x(a∈R)．（1）若a=1，求f（x）的值域；（2）若不等式f（x）≤2对x∈[-8，-3]恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=x+a
      √1-x
      (a∈R)．
      （1）若a=1，求f（x）的值域；
      （2）若不等式f（x）≤2对x∈[-8，-3]恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）a=1时，f（x）=x+
      √1-x
      ，（x≤1），
      令t=
      √1-x
      ，则t≥0，
      则x=1-t      2，
      ∴y=1-t      2+t=-（t-
      1
      2
      ）2+
      5
      4
      ，
      ∵t≥0，
      ∴y≥
      5
      4
      ，
      函数f（x）的值域是[
      5
      4
      ，+∞）．
      （2）令t=
      √1-x
      ，x∈[-8，-3]，则x=1-t2，2≤t≤3，
      则y=1-t      2+at，
      若不等式f（x）≤2对x∈[-8，-3]恒成立，
      则等价为1-t      2+at≤2对t∈[2，3]恒成立，
      即a≤t+
      1
      t
      对t∈[2，3]恒成立，
      令g（t）=t+
      1
      t
      ，t∈[2，3]，
      则函数g（t）在[2，3]上是一个增函数，
      ∴g（t）的最小值为g（2）=
      5
      2
      ，
      ∴a≤
      5
      2
      ，
      即a的取值范围为（-∞，
      5
      2
      ]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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