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已知偶函数f(x)对任意x均满足f(3+x)+f(-1-x)=6,且当x∈[1,2]时,f(x)=x+2.若关于x的方程f(x)-loga(x+2)=2有五个不相等的实数根,则实数a的取值范围为( )试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知偶函数f(x)对任意x均满足f(3+x)+f(-1-x)=6,且当x∈[1,2]时,f(x)=x+2.若关于x的方程f(x)-log
a
(x+2)=2有五个不相等的实数根,则实数a的取值范围为( )
试题解答
D
解:∵f(3+x)+f(-1-x)=6,
令-1-x=t,则x=-1-t,3+x=2-t,
∴f(t)+f(2-t)=6,
∴f(-t)+f(2+t)=6,又f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),
∴f(t)=f(-t),
∴f(2+t)=f(2-t),
∴f(2+x)=f(2-x),
∴偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称;①
由f(x)+f(2+x)=6,知f(4+x)+f(2+x)=6,
∴f(4+x)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数;②
∵当x∈[1,2]时,f(x)=x+2,
∴令-1<x<0,则1<x+2<2,
∴f(x+2)=(x+2)+2=6-f(x),
∴f(x)=2-x(-1<x<0);
同理可求,当0<x<1时,f(x)=x+2;
∴y=f(x)的图象如下:
由f(x)-log
a
(x+2)=2得:log
a
(x+2)=f(x)-2,
令g(x)=log
a
(x+2),h(x)=f(x)-2,
方程f(x)-log
a
(x+2)=2有五个不相等的实数根?g(x)=log
a
(x+2)与h(x)=f(x)-2有5个交点,作图如下:
由图知,0<log
a
(6+2)<2且log
a
(10+2)>2,
解得:2
√
2
<a<2
√
3
.
故选:D.
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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