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  • 已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=ax+bx2+1为奇函数．且f(12)=25．（1）、求实数a、b的值．（2）、求证：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．（3）、解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=
      ax+b
      x2+1
      为奇函数．且f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      （1）、求实数a、b的值．
      （2）、求证：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
      （3）、解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是在区间（-1，1）上的奇函数．∴f(x)=
      x
      1+x2
      ∴f(o)=b=o又f(
      1
      2
      )=
      a
      2
      +b
      1+
      1
      4
      =
      2
      5
      ∴a=1…（4分）
      （2）设-1＜x      1＜x2＜1则f(x1)-f(x2)=
      x1
      1+x12
      -
      x2
      1+x22
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (1+x12)(1+x22)
      ∴-1＜x1＜x2＜1∴x1-x2＜01-x1x2＞0（1+x12）（1+x22）＞0∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在区间（-1，1）上是增函数．…（8分）
      （3）∴f（t-1）+f（t）＜0．且f（x）为奇函数∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
      又∴函数f（x）是定义在区间（-1，1）上的增函数．∴
      {
      t＜1-t
      -1＜t＜1
      -1＜1-t＜1
      ∴0＜t＜
      1
      2

      故关于t的不等式的解集为{t|0＜t＜
      1
      2
      }…（12分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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