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  • 已知函数h(x)=x2-4x+mx-2(x∈R，且x＞2），函数y=t（x）的图象经过点（4，3），且y=t（x）与y=h（x）的图象关于直线y=x对称，将函数y=h（x）的图象向左平移2个单位后得到函数y=f（x）的图象．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若g(x)=f(x)+ax，g(x)在区间（0，3]上的值不小于8，求实数a的取值范围．（III）若函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（a，b）（其中x1≠x2），有f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)，称函数f（x）在（a，b）的图象是“下凸的”．判断此题中的函数f（x）图象在（0，+∞）是否是“下凸的”？如果是，给出证明；如果不是，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数h(x)=
      x2-4x+m
      x-2
      (x∈R，且x＞2），函数y=t（x）的图象经过点（4，3），且y=t（x）与y=h（x）的图象关于直线y=x对称，将函数y=h（x）的图象向左平移2个单位后得到函数y=f（x）的图象．
      （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
      （Ⅱ）若g(x)=f(x)+
      a
      x
      ，g(x)在区间（0，3]上的值不小于8，求实数a的取值范围．
      （III）若函数f（x）满足：对任意的x      1，x2∈（a，b）（其中x1≠x2），有
      f(x1)+f(x2)
      2
      ＞f(
      x1+x2
      2
      )，称函数f（x）在（a，b）的图象是“下凸的”．判断此题中的函数f（x）图象在（0，+∞）是否是“下凸的”？如果是，给出证明；如果不是，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题意，h（x）的图象经过（3，4），代入可得4=
      9-12+m
      3-2
      ，解得m=7
      ∴h(x)=
      x2-4x+7
      x-2
      ，∴f（x）=h（x+2）=x+
      3
      x
      ；（3分）
      （Ⅱ）∵g(x)=x+
      3+a
      x
      ，
      ∴由已知有x+
      3+a
      x
      ≥8有a≥-x2+8x-3，（6分）
      令t（x）=-x      2+8x-3，则t（x）=-（x-4）2+13，于是t（x）在（0，3）上是增函数．
      ∴t（x）      max=12．
      ∴a≥12． （8分）
      （III）f(x)=x+
      3
      x
      的图象在（0，+∞）是“下凸的”． （9分）
      ∵f(
      x1+x2
      2
      )-
      f(x1)+f(x2)
      2
      =(
      x1+x2
      2
      +
      3
      x1+x2
      2
      )-
      x1+
      3
      x1
      +x2+
      3
      x2
      2

      =
      (x1+x2)2+12-(x1+x2)(x1+
      3
      x1
      +x2+
      3
      x2
      )
      2(x1+x2)
      =
      12-
      3(x1+x2)2
      x1x2
      2(x1+x2)
      ＜
      12-
      3(2
      √x1x2
      )2
      x1x2
      2(x1+x2)
      =0
      ∴
      f(x1)+f(x2)
      2
      ＞f(
      x1+x2
      2
      )
      ∴f(x)=x+
      3
      x
      的图象在（0，+∞）是“下凸的”． （12分）
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