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  • 已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（-∞，0）上是增函数；又定义行列式a1a2a3a4=a1a4-a2a3； 函数g(θ)=sinθ3-cosθmsinθ （其中0≤θ≤π2）．（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．（2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（-∞，0）上是增函数；又定义行列式
      a1a2
      a3a4
      =a1a4-a2a3； 函数g(θ)=
      sinθ3-cosθ
      msinθ
      （其中0≤θ≤
      π
      2
      ）．
      （1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．
      （2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）在（-∞，0）上是增函数，又f（x）是奇函数，
      ∴f（x）在（0，+∞）也是增函数，
      g（θ）=sin      2θ-m（3-cosθ）=-cos2θ+mcosθ-3m+1=-(cosθ-
      m
      2
      )2+
      m2
      4
      -3m+1，
      ∵θ∈[0，
      π
      2
      ]，∴cosθ∈[0，1]，
      g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（
      m
      2
      ≤0），cosθ=1（
      m
      2
      ≥1），cosθ=
      m
      2
      (0＜
      m
      2
      ＜1)处取得，
      若cosθ=0，g（θ）=4，则有1-3m=4，m=-1，此时
      m
      2
      =-
      1
      2
      ，符合；
      若cosθ=1，g（θ）=4，则有-2m=4，m=-2，此时
      m
      2
      =-1，不符合；
      若cosθ=
      m
      2
      ，g（θ）=4，则有
      m2
      4
      -3m+1=4，m=6+4
      √3
      或m=6-4
      √3
      ，此时
      m
      2
      =3+2
      √3
      或3-2
      √3
      ，不符合；
      综上，m=-1．
      （2）∵f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且满足f（2）=0，∴f（-2）=0，
      又f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上均是增函数，
      由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0，
      又M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0}，
      ∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜-cos      2θ+mcosθ-3m+1＜2在θ∈[0，
      π
      2
      ]恒成立，
      当m＞
      -1-cos2θ
      3-cosθ
      =
      -(3-cosθ)2+6(3-cosθ)-10
      3-cosθ

      =-（3-cosθ）-（
      10
      3-cosθ
      ）+6=-[（3-cosθ）+（
      10
      3-cosθ
      ）]+6，
      ∵θ∈[0，
      π
      2
      ]，∴cosθ∈[0，1]，3-cosθ∈[2，3]，
      ∴7≥（3-cosθ）+（
      10
      3-cosθ
      ）≥
      19
      3
      ，-[（3-cosθ）+（
      10
      3-cosθ
      ）]+6∈[-1，-
      1
      3
      ]，
      此时，m＞-
      1
      3
      ；
      当m＜
      1-cos2θ
      3-cosθ
      =
      -(3-cosθ)2+6(3-cosθ)-8
      3-cosθ

      =-（3-cosθ）-（
      8
      3-cosθ
      ）+6
      =-[（3-cosθ）+（
      8
      3-cosθ
      ）]+6，
      ∴6≥（3-cosθ）+（
      8
      3-cosθ
      ）≥4
      √2
      ，-[（3-cosθ）+（
      8
      3-cosθ
      ）]+6∈[0，6-4
      √2
      ]，
      此时，m＜0；
      综上，m∈（-
      1
      3
      ，0）．
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