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设a,b是实数,函数f(x)=12x+b-a是R上的奇函数.(Ⅰ)求实数a,b的值;(Ⅱ)试判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并请你用函数的单调性给予证明;(Ⅲ)不等式f(m-2)+f(2x+1+4x)<0对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设a,b是实数,函数f(x)=
1
2
x
+b
-a是R上的奇函数.
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)试判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并请你用函数的单调性给予证明;
(Ⅲ)不等式f(m-2)+f(2
x+1
+4
x
)<0对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)因为f(x)为奇函数,
所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),即
1
1+b
-a=0①,
1
2
-1
+b
-a=-(
1
2+b
-a)②,
联立①②解得
{
a=
1
2
b=1
,经检验,符合题意,
所以实数a=
1
2
,b=1;
(Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,证明如下:
由(Ⅰ)知f(x)=
1
2
x
+1
-
1
2
,
设x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=(
1
2
x
1
+1
-
1
2
)-(
1
2
x
2
+1
-
1
2
)=
2
x
2
-2
x
1
(2
x
1
+1)(2
x
2
+1)
,
因为x
1
<x
2
,所以
2
x
2
-2
x
1
>0,
所以f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
),
所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;
(Ⅲ)因为f(x)为奇函数,所以f(m-2)+f(2
x+1
+4
x
)<0可化为f(2
x+1
+4
x
)<-f(m-2)=f(2-m),
又f(x)单调递减,所以2
x+1
+4
x
>2-m,
由题意,只需(2
x+1
+4
x
)
min
>2-m,
而2
x+1
+4
x
=(2
x
+1)
2
-1>0,
所以2-m≤0,即m≥2,
实数m的范围为m≥2.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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