已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f(x)=2x4x+1．（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f(x)=

2^x

4^x+1

．
（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？

见解析

（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函数，∴f（0）=0．---------（1分）
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
f(-x)=

2^-x

1+4^-x

2^x

1+4^x

=-f（x）
∴f(x)= -

2^x

1+4^x

---------（2分）
∴f(x)=

{

2^x

1+4^x

，x∈(-1，0)

0，x=0

2^x

1+4^x

，x∈(0，1)

---------（3分）
（Ⅱ）证明：设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(x₁)-f(x₂)=

(2^x₁-2^x₂)+(2^x₁+2x₂-2^x₂+2x₁)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

(2^x₁-2^x₂)(1-2^x₁+x₂)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

，------（4分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴2^x₁＜2^x₂，2^x_1+x₂＞2⁰=1，---------（5分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，1）上为减函数．---------（6分）
（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上为减函数，
∴f（1）＜f（x）＜f（0）即

＜f(x)＜

---------（7分）
同理，f（x）在（-1，0）上时，f（x）∈(-

，-

)---------（8分）
又f（0）=0
当λ∈(-

，-

)或(

，

)或λ=0时方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解．-----------------（10分）

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