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  • 已知f（x）=|sinx|+|cosx|，试根据下列要求研究函数f（x）的性质：（1）证明：函数f（x）是偶函数；（2）函数f（x）是周期函数，并求出它的一个周期；（3）写出函数f（x）的单调区间（不必证明），并求函数f（x）的最值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=|sinx|+|cosx|，试根据下列要求研究函数f（x）的性质：
      （1）证明：函数f（x）是偶函数；
      （2）函数f（x）是周期函数，并求出它的一个周期；
      （3）写出函数f（x）的单调区间（不必证明），并求函数f（x）的最值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（-x）=|cos（-x）|+|sin（-x）|=|cosx|+|sinx|=f（x），
      ∴f（x）是偶函数；
      （2）∵f（x+
      π
      2
      ）=|sin（x+
      π
      2
      ）|+|cos（x+
      π
      2
      ）=|cosx|+|sinx|，
      ∴此时
      π
      2
      是函数的一个周期．
      （3）f（x）=
      {
      sin?x+cos?x，0≤x≤
      π
      2
      sin?x-cos?x，
      π
      2
      ＜x≤π
      -sin?x-cos?x，π＜x≤
      3π
      2
      cos?x-sin?x，
      3π
      2
      ＜x≤2π
      ，
      作出函数f（x）的图象可知：
      函数的单调递增区间为[
      kπ
      2
      ，
      kπ
      2
      +
      π
      4
      ]，k∈Z，
      函数的单调递减区间为[
      kπ
      2
      +
      π
      4
      ，
      kπ
      2
      +
      π
      2
      ]，k∈Z，
      当x∈[0，2π]时，f（x）∈[1，
      √2
      ]，
      则函数的最大值
      √2
      ，最小值为1．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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